روشهای یافتن دامنه و برد تابع

سلام سوال یکی از بچه هابود گشتم تاپیکشو ندیدم یه سری جزوه و راه حل هست میذارمشون همهشونو دقیق مطالعه نکردم ببینم چقدر درست وحسابین ولی:

			نام درس : حسابان ( سال سوم دبيرستان - رشته ي رياضي ) مبحث : تابع ص 5
روش های عملی برای مشخص کردن دامنه و برد توابع حقیقی
توضیح بیشتر برای حل مثال فوق : اگر بخواهیم آن چه را که به عنوان ضابطه برای تابع بالا نوشتیم توصیف و تشریح کنیم باید این چنین بگوییم : مقدار تابع (یعنی همان y یا f(x) ) به ازای اعداد ورودی طبیعی کوچکتر یا مساوی با 6 از طریق رابطه ی 2x-1 بدست می آید به عنوان مثال اگر ورودی x=2 را در نظر بگیرید از طریق همین رابطه می توان نوشت :2(2)-1=3 همانطور که مشاهده می کنید مقدار خروجی 3 را تحویل ما داد که دقیقاً مطابق تابع داده شده در صورت مسئله است . مقدار 1 برای تابع تنها توسط عدد وردی 7 بدست می آید و برای اعداد طبیعی که در بازه ی بسته ی 8 تا 11 قرار دارند مقدار تابع از طریق رابطه ی x-1 بدست می آید که به راحتی می توانید با قرار دادن یک مقدار ورودی در بازه ی مذکور ، صحت رابطه ی فوق را برای بدست آوردن خروجی های این بخش تست کنید .
تفسیر : یعنی به ازای مقادیر حقیقی مثبت ، دستگاه به عنوان خروجی عدد 1 را به ما می دهد . به ازای ورودی صفر ، دستگاه خود عدد صفر را به عنوان خروجی تحویل ما می دهد . و به ازای ورودی های حقیقی منفی به دستگاه عدد 1- به عنوان خروجی از دستگاه خارج می شود . و اما نمودار تابع :
************************** در این تاپیک سعی می کنیم روشهای مختلف دست یابی به برد توابع رو مطرح کنیم. خب بریم سر اصل مطلب: روش اول: به کمک تشکیل جدول تغییرات تابع.به این ترتیب که از معادله تابع مشتق می گیریم و جوابهای(0های)حقیقی آن را به دست می آوریم.سپس جدول تغییرات تابع را رسم می کنیم.تغییرات y برد تابع را نشان می دهد. مثلا برای یافتن برد تابع به معادله یy=x^2-2x+3 مشتق تابع برابر میشه با 2x-2 که توی 1 برابر 0 میشه.علامت تابع در طرف راست 1 موافق علامت ضریب x^2 و در چپش مخالف علامت ضریب x^2 میشه.(اگه توی مشتق گیری یا تعیین علامت اشکالی دارید بفرمایید تا توضیح بدم). در x=1 تابع برابر میشه با 2. پس در حقیقت تابع از +بینهایت میاد تا 2 و از 2 میره تا +بی نهایت.(اگه x رو - یا +بینهایت بگیرید y میشه مثبت بی نهایت. چون در بی نهایت بنابر قوانین حد،علامت تابع میشه همون علامت بزرگترین درجه در بی نهایت.).بنابر این برد تابع میشه بسته ی 2 تا باز بینهایت (چرا بسته؟چون تابع توی 2 تعریف شده یعنی جواب داره، برد داره) روش دوممعکوس یابی) (توجه:فقط در مواردی قابل استفاده است که متغیر مستقل تابع با یک توان مثلا 1 یا 2 یا ... در معادله بیاید وگرنه در مرحله فاکتور گیری به مشکل بر میخوریم.) از معادله تابع،x را بر حسب y بدست می آوریم.سپس حدود y را چنان پیدا می کنیم که x موجود باشد. مثال:برد تابع به معادله y=(x-1)/(x+1) را بیابید. حل: دامنه تابع میشه R به جز منفی 1 حالا از روی معادله تابع: xy+y=x-1 پس xy-x=-1-y و از اونجا (بعد از فاکتور گیری) x برابرمیشه با (منفی y منهای 1) تقسیم بر y-1 (وای مساوی 1 نباشد که مخرج 0 نشود) اگر y=1 نباشد،آنگاه x همواره وجود خواهد داشت پس برد تابع میشه همه اعداد حقیقی به جز 1. دوستان توجه کنن روشهایی که ارائه میشه،احتیاج به تمرین خیلی زیاد داره.حالا البته ما هم تمرین میدیم بهتون اما خودتون هم باید خیلی کار کنید و به این مثال های ساده اکتفا نکنید. ان شاء الله در پست های بعدی روش های بعدی به همراه تمریناتی از روش های گفته شده قرار می گیره. روش سوم: استفاده از اتحاد های ناقص(همون چیزی که پرنیان خانوم به عنوان مربع کامل ازش اسم بردن): فرمولش اینه: x^2+,-kx=(x+,-k/2)^2-k^2/4 مثال:مربع کامل کردن y=x^2-2x+3 حل: قسمت x^2-2x رو طبق فرمول بالا این طور می نویسیم: (x-1) بتوان 2 منهای 1 بعد هم با سه جمعش می کنیم.به این ترتیب قسمت متغیردار تابع مربع می شود و باقیمانده مقداری است ثابت که برد گرفتن را ساده می کند. اما بیان کوچه بازاری این میشه که یه پرانتز میذاریم و توش ایکس رو قرار میدیم بعد ضریب ایکس رو (در مثال بالامنفی2) نصف می کنیم ومیذاریم بعد از ایکس.پرانتز رو می بندیم. و یه توان دو میزاریم روی پرانتز بعد حاصل این پرانتز رو بدست میاریم.هر چی کم داشت اضافه می کنیم بعد از پرانتز.(یا اگه زیاد داشت کم می کنیم)بعد هم با سه که مال خودشه جمعش می کنیم. حالا تعیین برد از این روش: در مثال بالا کمترین مقدار (ایکس منهای یک) بتوان 2 ، صفر است وبیشترین مقدار ندارد.یعنی به سمت بینهایت میل میکند.پس کمترین مقدار تابع 2 است.(وقتی ایکس منهای یک بتوان دو صفر میشود)(طبق معادله ی جدید که از اتحاد بدست اومد).وبرد میشه 2 تا بینهایت. روش چهارم: آ سینوس ایکس+بی کسینوس ایکس بین رادیکال(آدو+بی دو) و منفیش قرار داره. چند روش دیگه هم برای تعیین برد وجود داره که ان شاء الله وقتی جزوه م رو پیدا کردم براتون میذارم.(اونا کنکوریه خیلی توپه!) اما چند تذکر در مورد برد تابعکه میتونن به عنوان روش مورد استفاده قرار بگیرن): 1-برای تعیین برد،گاهی اوقات می توان شکل تابع را رسم کرد مثلا درجه دو ها را مربع کامل می کنیم.و با قواعد انتقال،اونها رو رسم می کنیم.حدود تابع روی محور y میشه برد. 2-اگر تابع اکیدا یکنوا باشد،به کمک دامنه می توان برد را معین کرد.x را یک بار به مثبت و بار دوم به منفی بینهایت میل میدیم.و حدود y رو بدست میاریم.

******************************************************************************************************************************

تابع بخش دوم – دامنه و برد توابع

دامنه تابع

تعریف دامنه تابع : اگر A و B دو مجموعه اعداد باشند و f تابعی از A به B باشد ، مجموعه تمام مولفه های اول ، زوجهای مرتب (x,y) متعلق به تابع f را دامنه تابع می نامیم

مثال : در تابع {(f={(1,2),(2,3),(5,7 مجموعه {۱,۲,۵} یعنی مجموعه مولفه های اول زوج مرتب را دامنه تابع می گوییم .

البته تعریف بالا زمانی کاربرد دارد که ما بتوانیم تابع را بصورت زوج های مرتب محدود نمایش دهیم . اما ، همیشه در ریاضی نمی توان چنین زوج های مرتب محدود داشت و ممکن است ما با تابعی مواجه شویم که دارای زوج های مرتب بی نهایت باشد . اینجاست که ما باید تعریف دیگری ارایه دهیم .

تعریف ریاضی و جامع دامنه تابع

اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد . به ازای تمامی اعضایی از مجموعه A که تابع ما معین و دارای جواب باشد ، دامنه تعریف تابع می گوییم .به تعبیری دیگر دامنه تابع ،مجموعه مقادیری است که تابع به ازای آنها تعریف شده و دارای جواب باشد.

قوانین محاسبه دامنه تابع

۱-دامنه توابع کسری : دامنه توابع کسری ، در واقع مجموعه جواب تابع کسری است . یعنی تابع کسری زمانی جواب دارد که مخرج آن نامساوی صفر باشد .

مثال : دامنه تعریف تابع را بدست آورید ؟

برای حل این سوال ، ابتدا باید ریشه معادله درجه دوم مخرج را بدست آوریم .

در واقع دامنه این تابع ، تمام مقادیر R منهای مقادیری که ریشه مخرج را صفر می کند . پس داریم :

پس با توجه به اینکه کوچکتر از صفر است ، یعنی این عبارت ریشه ندارد و در واقع هیچگاه برابر صفر نخواهد شد . پس جواب ما تمام مجموعه R است .

۲-دامنه توابع رادیکالی با فرجه زوج : دامنه چنین تابعی برابر است با تمام مقادیری که به ازای آنها زیر رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر باشد .

مثال : دامنه تابع پیدا کنید .

ما در این مثال هم کسر داریم و هم رادیکال ، پس ابتدا باید محدودیت صورت کسر را مشخص کنیم چون رادیکال دارد .

در صورت کسر زیر رادیکال باید بزرگتر از صفر یا مساوی صفر باشد . یعنی اما در مخرج باید

باید نامساوی صفر باشد و همچنین x بزرگتر یا مساوی صفر باشد ، با این حساب همیشه مثبت خوهد بود بنابر این دامنه تابع برابر است با

۳-دامنه توابع لگاریتمی : اگر ما تابعی بصورت داشته باشیم که در آن g(x) , h(x) هر دو تابع باشند ، آنگاه دامنه ما برابر است با مقادیری که g(x) , h(x) مثبت باشند و همچنین h(x) برابر یک نباشد .

مثال : دامنه تابع را بدست آورید .

این لگاریتم در مبنای ۱۰ است پس شرط h(x) نامساوی یک برقرار است اما اکنون باید

می دانیم هر دو با هم نمی توانند منفی باشند و همچنین هر دو با هم نمی توانند صفر باشند پس :

به ازای x ≥۴و به ازای

همیشه مثبت است پس مجموعه جواب ما

است .

۴-دامنه توابع رادیکالی با فرجه فرد :فرجه فرد شرطی را برای دامنه ایجاد نمی کند چرا که حتی اگر زیر رادیکال منفی باشد. به دلیل فرد بودن فرجه ممکن است جواب قابل قبول باشد.

نکات مهم دامنه

نکته ۱:در توابع کسری(گویا) اگر صورت و مخرج قابل ساده شدن باشند نباید آن را ساده کنید بلکه باید با همان حالت خود ، دامنه اش را محاسبه کنید.

نکته۲:اگر در توابع کسری ، کسر ما رادیکال با فرجه فرد بود ،اینجا رادیکال را فقط بزرگتر از صفر در نظر می گیریم و عبارت برابر صفر را حساب نمی کنیم چون مخرج یک کسر نمی تواند صفر باشد.

نکته۳:در عبارتهای قدر مطلق ما علامت قدر مطلق را نادیده می گیریم و فقط دامنه عبارت را حساب می کنید.

نکته۴:در توابع چند ضابطه ای کافیست دامنه توابع در هر شرط را جداگانه بدست آوریم و سپس از اجتماع همه دامنه ها ،دامنه تابع چند ضابطه ای بدست می آید.

————————————————————————–

تابع	فرم ریاضی تابع	دامنه تابع
توابع چند جمله ای
توابع کسری که صورت و مخرج چند جمله ای باشند		تمام اعداد حقیقی منهای ریشه مخرج
توابع رادیکالی با فرجه زوج		زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد
توابع رادیکالی با فرجه فرد		دامنه به تابع زیر رادیکال بستگی دارد
توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس		تمام اعداد حقیقی
توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس غیر ساده
توابع مثلثاتی تانژانت
توابع مثلثاتی کتانژانت
توابع مثلثاتی تانژانت غیر ساده یا مرکب
توابع مثلثاتی کتانژانت مرکب
دامنه تابع قدر مطلق		دامنه تابع با دامنه تابع داخل قدر مطلق برابر است
دامنه تابع جزء صحیح		دامنه تابع با دامنه تابع داخل جزء صحیح برابر است
دامنه تابع لگاریتم
دامنه تابع نمایی
تابع چند ضابطه ای		برابر با اجتماع دامنه های ضابطه ها است
توابع کسری با مخرج رادیکالی به فرجه زوج

———————————————————————————————————————————————

تمرینات و سوالات امتحانی دامنه توابع

دامنه توابع زیر را بدست آورید.

۱-

۲-سوال امتحانی درس حسابان سال ۸۱ رشته ریاضی

۳-نمونه سوال امتحانی خرداد ۸۷ رشته ریاضی

۴-

۵-

۶-

۷-

۸-

۹-

۱۰-

۱۱-

برد تابع

در ریاضیات برد یک تابع برابر با مجموعه تمام خروجیهای تابع است . اگر تابع را به عنوان مجموعه ای از زوجهای مرتب در نظر بگیریم ، آنگاه تمام مولفه های دوم متعلق به زوج مرتب (x,y) را برد تابع می نامیم

مثال : در تابع {(f={(1,5),(7,9),(3,4 مجموعه { ۵,۹,۴} تشکیل دهنده برد تابع است .

تعریف ریاضی و جامع برد توابع

برد توابع ، مانند دامنه توابع همیشه دارای زوج مرتب محدود نیست که ما بتوانیم به راحتی آنها را نمایش دهیم . لذا ما باید راه کاری جامع برای پیدا کردن برد توابع پیدا کنیم . اما متاسفانه برای پیدا کردن برد تابع راه حل کلی و جامع وجود ندارد . لذا ما در این مورد چند راهکار کلی را بررسی می کنییم

۱-روش اول به کمک دامنه: در تابع (y=f(x اگر بتوانیم x را بر حسب y و به صورت (x=g(y بدست آوریم آنگاه دامنه تابع g برحسب متغیر y برابر با برد تابع f خواهد بود .

مثال ۱: برد تابع را بدست آورید.

دامنه تابع بر حسب y برابر است با {R-{1 که در واقع همان برد تابع است .

مثال ۲ : برد تابع را بدست آورید ؟

با یک نگاه کلی متوجه می شویم که y باید همیشه بزرگتر از صفر باشد یعنی

نامعادله فوق زمانی برقرار است که x≥۰ در این صورت برد تابع برابر با {۰} است .

روش دوم با رسم نمودار تابع :در این روش ما نمودار تابع را رسم می کنیم و از روی محور y ها می توان برد تابع را بدست آورد ،یعنی در واقع تغییرات نمودار تابع روی محور y ها بیانگر برد تابع است.

مثال : برد تابع را بدست آورید .

جواب : نمودار تابع را مطابق شکل زیر رسم می کنیم .

همانطور که از نمودار تابع می بینیم میزان تغییرات تابع روی محور y ها از عدد ۲ به بالا می باشد پس برد تابع ما اعداد بزرگتر از ۲ می باشد .پس ما یاد گرفتیم که با استفاده از رسم نمودار تابع می توانیم تصویر تغییرات تابع روی محور y ها را برای بدست آوردن برد تابع استفاده کرد.

۳-روش سوم بدست آوردن تابع با استفاده از ماکزیمم و مینیمم : در این روش شما کافیست مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع را بدست آورید .

مثال : برد تابع را بدست آورید

جواب : همانطور که از شکل تابع پیداست ، این تابع زیر رادیکال باید همواره مثبت باشد و کمترین مقداری که می تواند بگیرد صفر است ،دامنه این تابع از عدد یک به بالا می باشد یعنی دامنه تابع اعداد بزرگتر از یک است پس کوچکترین عدد دامنه عدد یک است. پس اگر در تابع فوق عدد یک قرار دهیم کوچکترین مقدار تابع ما برابر صفر خواهد شد اما بزرگترین مقدار ما(ماکزیمم) برابر مثبت بی نهایت خواهد بود پس مینیمم تابع ما صفر و ماکزیمم تابع ما مثبت بی نهایت است .

۴-روش چهارم بدست آوردن برد تابع با استفاده از جدول تغییرات(با استفاده از مشتق و تعیین علامت) : در این روش ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را بدست می آوریم فاصله ای که از می نیمم مطلق تا ماکزیمم مطلق را برد تابع در نظر می گیریم .

مثال برد تابع را بدست آورید

جواب :

جدول تغییر متغیر بصورت زیر است :

همانطور که در شکل بالا می بینید مینیمم مطلق تابع برابر منفی ۳ است و ماکزیمم مطلق برابر با مثبت بی نهایت پس برد تابع برابر است با بازه

۵-روش پنجم بدست آوردن برد تابع با استفاده از نامساوی مثلثاتی زیر:

مثال : برد تابع را بدست آورید .

konkur.in